Vectores: Vector

Los objetos básicos de estudio son las n-adas ordenadas de números reales $(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ .

Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio $\mathbb{R}^3$ y (6,-1,0,2,4) es un elemento de $\mathbb{R}^5$ . En particular, $\mathbb{R}^2$ corresponde a un plano cartesiano y $\mathbb{R}^3$ es el espacio euclideano provisto de un sistema de coordenadas.

Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.

Para sumar dos vectores en $\mathbb{R}^n$ , se suman las coordenadas en posiciones correspondientes:

$(x_1,x_2,\ldots,x_n)+(y_1,y_2,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n)$

Ejemplo: La suma de (3,-1, 5) con (2,4,0) es (3+2, -1+4, 5+0)=(5,3,5).

Esta operación puede interpretarse gráficamente como trasladar uno de los vectores sumados para que "inicie" al final del otro. Esta regla suele llamarse también regla del paralelogramo por la figura que aparece en el diagrama.

La segunda operación básica es el producto por un escalar, que en este ejemplo corresponde a multiplicar un número real (un escalar) por un vector, y está dado por la regla:

$r \cdot (x_1,x_2,\ldots,x_n)=(rx_1,rx_2,\ldots,rx_n)$

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo).

Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v y todo escalar r:

$T(u+v)=T(u) + T(v),\qquad T(r\cdot u)=r\cdot T(u).$

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a matrices de números reales.

Específicamente, las transformaciones lineales entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ son las matrices de tamaño $n\times m$ .

Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

Vectores

lunes, 16 de junio de 2008

Vector

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